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Belgian science policy

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Wetenschapsstraat 8 rue de la Science

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Interuniversity Attraction Poles (IAP)

Phase VI

2007 – 2011




Information on the network

Title of the project : Nonlinear systems, stochastic processes, and statistical mechanics

Name of the coordinator : Pierre VAN MOERBEKE

Institution : UCL



Coordinator : Partner 1 (P1)

Name : Pierre VAN MOERBEKE

Institution : Universite Catholique de Louvain

Institution’s abbreviation : UCLouvain

Partner 2 (P2)

Name : Pierre GASPARD

Institution : Universite Libre de Bruxelles

Institution’s abbreviation : ULB

Partner 3 (P3)

Name : Arnoldus KUIJLAARS

Institution : Katholieke Universiteit Leuven

Institution’s abbreviation : KULeuven

Partner 4 (P4)

Name : Joris VAN DER JEUGT

Institution : Universiteit Gent

Institution’s abbreviation : UGent

Mention only one name per partner. The person listed here should be the one in charge of the operational aspects of the project. Indicate the full name (family name + first name) of the partner.

^ EUROPEAN PARTNERS (if applicable)

EU-Partner 1 (EU1)


Institution : Ruhr Universitat Bochum

Institution’s abbreviation : RUB

Country : Germany

EU-Partner 3 (EU3)

Name : Boris DUBROVIN

Institution : SISSA (Trieste)

Institution’s abbreviation : SISSA

Country : Italy

EU-Partner 2 (EU2)

Name : Antti KUPIAINEN

Institution : University of Helsinki

Institution’s abbreviation : HU

Country : Finland

Mention only one name per partner. The person listed here should be the one in charge of the operational aspects of the project. Indicate the full name (family name + first name) of the partner.


Indicate clearly and briefly the project’s major objectives and provide a concise description of the project.

^ A. Title and summary in English (2 pages maximum)

Today a major trend in fundamental sciences is the study of nonlinear systems and the appearance of complex behavior. Such systems are characterized by many interacting entities as in macroscopic physics where systems composed of many microscopic particles present collective and nonlinear phenomena such as phase transitions, or transport properties under nonequilibrium conditions. As a starting point such a study requires the microscopic description in terms of interacting particles and the next step is to derive the collective and transport properties by mathematical methods.

New challenges have recently appeared in this field concerning the understanding of the dynamics and the fluctuations in non-equilibrium conditions. In order to make progress in this field, a wide range of knowledge will be required, from the theory of chaotic and integrable systems to the theory of stochastic processes and statistical mechanics. Indeed, the different systems are governed by a Hamiltonian microscopic dynamics from which we need to infer the properties of their time evolution. These systems differ by the behavior of their trajectories; they may be periodic, quasiperiodic as it is often the case in celestial mechanics, or appear in the form of fluctuations as in statistical mechanics and random matrix theory. These fluctuations can be described by invariant probability measures. The fact is that such invariant measures are well-known at equilibrium but largely unknown in non-equilibrium steady states. One famous problem in this context is the derivation of collective transport properties such as heat conduction and the Fourier law and the understanding of the corresponding fluctuations. In this regard, large-deviation relationships are currently studied under the names of ‘fluctuation theorem’ and ‘non-equilibrium work theorem’. These large-deviation relationships play a fundamental role in characterizing the invariant measure of non-equilibrium steady states. The understanding of these invariant measures has much to gain from dynamical systems theory and a precise knowledge of the trajectories followed by the particles composing the system.

Along similar lines, the study of matrix models and random matrices is an extremely lively and important domain of research, which bridges several areas of theoretical physics, mathematics and statistics and which has strikingly deep connections with a variety of problems, e.g., with combinatorics, combinatorial probability related to statistical mechanics, number theory, random growth and random tilings, and questions of communication technology.

The main question is to investigate the mean density of the spectrum for large size random matrices (with certain symmetry conditions) and its fluctuations about this equilibrium distribution. The probability distributions for the spectrum of random matrices are conveniently described by Fredholm determinants of kernels; the limiting kernels depend on the different regimes (scalings), leading to different statistical behaviors near the edge of the spectrum, near a gap in the spectrum or in the bulk of the spectrum. Interesting and novel statistical behaviors have come up and are related to non-linear equations (Painleve equations) and new non-linear partial differential equations; they, moreover, all seem to be “universal”, in that the limit only depends on the coarse features of the matrices, like symmetry conditions. Some of the random matrix models are closely related to the free energy and the Yang-Baxter equation for statistical mechanical models (six-vertex models, impenetrable Bose gas, etc…).

Dyson has introduced dynamics in the random matrix models in order to account for slowly varying physical parameters; the spectrum then behaves as large systems of Brownian motions repelling one another by a Coulomb force. The behavior of these infinite-dimensional diffusions near critical points (edge, gap, etc…) display striking phase transitions, which we expect to study from the point of view of asymptotics, transition probabilities and large deviations. The methodology consists of a formulation in terms of the Riemann-Hilbert problem, which enables one to use the powerful steepest descent methods, which have been developed over the last ten years. The use of integrable equations (Korteweg-de Vries equations,..) and of the Virasoro algebra related to the underlying matrix models is a very efficient method to find differential equations for the transition probabilities.

Related to the previous work, quantum theories with non-commutative geometry have received much attention. Many simple approaches have been considered, usually based on deformations of canonical commutation relations of position and momentum operators. In the context of Wigner Quantum Systems (WQS), the approach is more fundamental. It is essentially based on the requirement that Hamilton’s equations and the Heisenberg equations should be identical as operator equations in the state space (Hilbert space), giving rise to certain compatibility conditions. This approach leads, for example for the oscillator model, to relations with Lie superalgebras, since the compatibility conditions (usually triple operator identities involving anti-commutators) have a natural solution in terms of Lie superalgebras.

The main themes are the following:

The spectrum of random matrices, critical behavior and phase transitions

Transport and fluctuation theory

Quantum dynamical systems, dynamical entropy and semiclassical methods

Statistical mechanics of complex dissipative systems, transport properties and relaxation in Hamiltonian dynamical systems and self organized criticality.

Integrability and non-integrability of Hamiltonian systems, master-symmetries, zero-dispersion KdV equation and extensions of the Tracy-Widom distribution.

These are wide open fields, still at their cradle and which have acquired international visibility and recognition. Two large European projects are devoted to these matters: an EU-project (ENIGMA-UCL/KUL) and two “European Science Foundation”-projects (MISGAM-UCL/KUL and STOCHDYN-ULB). The purpose of this proposal is to set up a network pooling the strong theoretical expertise available in Belgium in this field in order to create a force to make significant progress on these challenging issues.

There is a great enthusiasm for creating such a network (the first of this kind in Belgium!), aiming at stimulating the exchange of ideas, ranging from theory to applications, and at improving cross-fertilization of researchers and students across boundaries. The topics involved are highly related, and at the same time have an impact on many different areas of geometry, combinatorics, probability, statistics and physics. Many interesting questions - fundamental and applied - are ready to be tackled. With this in mind, we propose a very broad network to provide ample opportunities of interaction and growth. A PAI-IUAP grant will provide the necessary impetus to improve communication between researchers. Yet the project is sufficiently focused in order to serve as a fruitful training ground for young researchers. The main objective is to attract young graduate students from Belgium and from other countries, who will be trained in the institutions of the network. The network will also attract young PhD’s from all over the world to do post-doctoral research in these areas.

This team combines researchers from the departments of mathematics and physics form the four universities, Jean Bricmont, Pierre Bieliavsky, Luc Haine, Philippe Ruelle, Pierre Van Moerbeke (UCLouvain), Pierre Gaspard (Université Libre de Bruxelles), Mark Fannes, Arnoldus Kuijlaars, Christian Maes and Walter Van Assche (KULeuven) and Joris Van der Jeugt (Universiteit Gent). These teams provide complementary skills in an interdisciplinary environment, and yet with common objectives.

^ B. Title and summary in Dutch (2 pages maximum)

Titel van het voorstel (Nederlands) : Niet-lineaire systemen, stochastische processen en statistische mechanica

Samenvatting van het voorstel (Nederlands) :

Een belangrijke trend in het hedendaagse fundamenteel onderzoek is de studie van niet-lineaire systemen en het optreden van complex gedrag. Zulke systemen worden gekarakteriseerd door een groot aantal interagerende deeltjes zoals in macroscopische fysica waar systemen die opgebouwd zijn uit veel microscopische deeltjes collectieve en nonlineaire fenomenen ondergaan zoals fase-overgangen en transport eigenschappen onder niet-evenwichts voorwaarden. Als vertrekpunt vereist zulk een studie een microscopische beschrijving in de vorm van interagerende deeltjes. De volgende stap is om de collectieve en transport eigenschappen af te leiden met wiskundige methoden.

In dit gebied zijn recent nieuwe uitdagingen verschenen betreffende het begrip van de dynamica en de fluctuaties in niet-evenwichts voorwaarden. Om vooruitgang te kunnen maken is een brede waaier van kennis vereist van de theorie van chaotische en integreerbare systemen tot de theorie van stochastische processen en statistische mechanica. Immers, de verschillende systemen worden beschreven door een microscopische Hamiltoniaanse dynamica waarvan we de eigenschappen en tijdsevolutie willen afleiden. Deze systemen verschillen in het gedrag van hun trajectorieen: deze kunnen periodiek zijn, quasi-periodiek zoals vaak het geval is in de hemelmechanica, of verschijnen in de vorm van fluctuaties zoals in statistische mechanica en random matrix theorie. Deze fluctuaties worden beschreven door middel van invariante kansmaten. Het is het geval dat zulke invariante maten in evenwicht goed bekend zijn maar grotendeels onbekend in niet-evenwichts toestanden. Een beroemd probleem in deze context is het afleiden van collectieve transport eigenschappen zoals warmtetransport en de Fourierwet en het begrip van de overeenkomstige fluctuaties. In dit verband worden tegenwoordig grote afwijkingen bestudeerd onder de namen “fluctuation theorem” en “non-equilibrium work theorem”. Deze grote afwijkingen spelen een fundamentele rol in de karakterisering van de invariante maat van niet-evenwichts toestanden. Het begrip van deze invariante maten komt van de theorie van dynamische systemen en een preciese kennis van de trajectorieen die gevolgd worden door de deeltjes in het systeem.

Op een vergelijkbare wijze is de studie van matrixmodellen en random matrices een uiterst levendig en belangrijk onderzoeksdomein dat verschillende gebieden uit de theoretische fysica, wiskunde en statistiek verbindt. Het heeft verrassend diepe verbanden met een veelheid van problemen zoals met combinatoriek, combinatorische kansrekening in statistische mechanica, getaltheorie, random groei en random vlakvullingen, en vraagstukken uit de communicatietheorie.

Het belangrijkste probleem is het onderzoek naar de verwachte dichtheid van het spectrum van grote random matrices (met zekere symmetrie voorwaarden) en de fluctuaties rond deze evenwichtsverdeling. De kansverdelingen voor het spectrum van random matrices worden mooi beschreven door Fredholm determinanten van kernen. De limieten van de kernen hangen af van de verschillende toestanden (schalingen) en dit leidt tot verschillend statistisch gedrag rond de rand van het spectrum, rond een gat in het spectrum of in het inwendige van het spectrum. Interessant en nieuw statistisch gedrag verschijnt hierbij die verbant houden met niet-lineaire vergelijkingen (Painleve vergelijkingen) en nieuwe niet-lineaire partiele differentiaalvergelijkingen. Bovendien lijken ze allemaal “universeel” te zijn in de zin dat de limiet alleen afhangt van de grove karakteristieken van de matrices, zoals de symmetrie eigenschappen. Sommige random matrix modellen zijn nauw verwant met de vrije energie en de Yang-Baxter vergelijking van modellen uit de statistische mechanica (six vertex model, ondoordringbaar Bose gas, enz..)

Dyson introduceerde dynamica in de random matrix modellen om rekening te houden met langzaam varierende fysische parameters. Het spectrum gedraagt zich dan als een groot systeem van Brownse bewegingen die elkaar afstoten volgens een Coulomb kracht. Het gedrag van dit soort oneindig-dimensionale diffusies rond kritieke punten (rand, gat, enz.) vertoont opmerkelijke faseovergangen die we wensen te bestuderen vanuit het gezichtspunt van asymptotiek, overgangswaarschijnlijkheden en grote afwijkingen. De werkwijze bestaat uit een formulering van een Riemann-Hilbert probleem, hetgeen ons in staat stelt om de krachtige steilste afdalingsmethode die de laatste tien jaar is ontwikkeld, te gebruiken. Het toepassen van integreerbare vergelijkingen (Korteweg-de Vries vergelijkingen,…) en van de Virasoro algebra die samenhangt met het onderliggende matrix model is een zeer effectief middel om de differentiaalvergelijkingen voor de overgangswaarschijnlijkheden te vinden.

Samenhangend met het bovenstaande hebben kwantum theorieen met niet-commutatieve meetkunde veel aandacht gekregen. Vele eenvoudige benaderingen zijn beschouwd, doorgaans gebaseerd op deformaties van kanonieke commutatieregels voor positie en momentum operatoren. In het kader van Wigner Quantum Systems (WQS) is de aanpak meer fundamenteel. Het is essentieel gebaseerd op het vereiste dat Hamilton’s vergelijkingen en de Heisenberg vergelijkingen identiek zouden moeten zijn als operatorvergelijkingen in de toestandsruimte (Hilbert ruimte), hetgeen aanleiding geeft tot zekere compatibiliteitsvoorwaarden. Deze aanpak leidt, bijvoorbeeld for het oscillator model, tot verbanden met Lie superalgebras, omdat de compatibiliteitsvoorwaarden (doorgaans drievoudige operator-identiteiten met anti-commutatoren) een natuurlijke oplossing in termen van Lie superalgebras hebben.

De belangrijkste themas zijn de volgende:

1 Het spectrum van random matrices, kritiek gedrag en faseovergangen

2 Transport en fluctuatietheorie

3 Kwantum dynamische systemen, dynamische entropieen en semiklassieke methoden

4 Statistische mechanica van complexe dynamische systemen, transporteigenschappen en relaxatie in Hamiltoniaanse dynamische systemen en zelfgeorganiseerde kritiekheid.

5. Integreerbaarheid en niet-integreerbaarheid van Hamiltoniaanse systemen, meester-symmetrieen, kleine dispersie KdV vergelijking en uitbreidingen van de Tracy-Widom verdeling.

Het betreft grote open gebieden die in volle ontwikkeling zijn en die internationaal actief beoefend en gewaardeerd worden. Twee grote Europese projecten zijn gewijd aan deze gebieden: een EU-project (ENIGMA-UCL/KUL) en twee ‘European Science Foundation’ projecten (MISGAM-UCL/KUL en STOCHDYN-ULB). Het doel van dit voorstel is om een netwerk te vormen dat de sterk aanwezige theoretische kennis in Belgie kan bundelen om zo belangrijke vooruitgang te kunnen boeken.

Het team bestaat uit onderzoekers uit departementen wiskunde en natuurkunde van vier universiteiten: Jean Bricmont, Pierre Bielavsky, Luc Haine, Philippe Ruelle, Pierre Van Moerbeke (UCL), Pierre Gaspard (ULB), Mark Fannes Arnoldus Kuijlaars, Christian Maes, Walter Van Assche (KULeuven) en Joris Van der Jeugt (UGent). Deze partners zorgen voor complentaire vaardigheden in een interdisciplinaire omgeving, met tevens gemeenschappelijke doelstellingen.

^ C. Title and summary in French (2 pages maximum)

Titre de la poposition (Français) : Systèmes non-linéaires, processus stochastiques et mécanique statistique

Résumé de la proposition (Français) :

Aujourd’hui une voie importante en science fondamentale est l’étude des systèmes non linéaires et la présence de comportements complexes. De tels systèmes sont caractérisés par plusieurs entités interagissantes comme en physique macroscopique ou des systèmes composés de plusieurs particules microscopiques présentent des comportements collectifs et non linéaires comme des transitions de phase ou des propriétés de transport sous des conditions de non-équilibre. Comme point de départ une telle étude requiert une description microscopique en termes de particules interagissantes et l’étape suivante est de déduire des propriétés collectives et de transport par des méthodes mathématiques.

De nouveaux défis sont apparus récemment dans ce domaine, en ce qui concerne la compréhension de la dynamique et des fluctuations dans des conditions de non-équilibre. Pour progresser dans ce domaine un large éventail de connaissances sera requis, d’une part dans la théorie du chaos et des systèmes intégrables et d’autre part dans les processus stochastiques et la mécanique statistique.

En effet, ces différents systèmes sont régis par une dynamique microscopique hamiltonienne, ce qui devrait nous permettre de déduire des propriétés d’évolution dans le temps. Ces systèmes diffèrent les uns des autres par le comportement de leurs trajectoires, celles-ci peuvent être périodiques ou quasi-périodiques comme c’est souvent le cas en mécanique céleste, ou apparaître sous forme de fluctuations comme en mécanique statistique et en théorie des matrices aléatoires. Ces fluctuations peuvent être décrites comme des mesures de probabilités invariantes. Le fait est que ces mesures invariantes sont bien connues à l’équilibre mais essentiellement inconnues dans des états de non-équilibre. Un problème célèbre dans ce contexte est la dérivation de propriétés de transports collectifs tels que la conduction de chaleur et la loi de Fourier et la compréhension des fluctuations correspondantes. Dans ce contexte, des relations de grandes déviations sont à l’étude actuellement sous les noms de « théorème de fluctuations » et de « théorème du travail en régime de non-équilibre ». Ces relations de grandes déviations jouent un rôle fondamental dans la caractérisation des mesures invariantes des états stationnaires de non-équilibre. La théorie des systèmes dynamiques et la compréhension des trajectoires des particules du système devraient contribuer à la découverte de ces méthodes invariantes.

Dans la même ligne, l’étude des modèles matriciels et des matrices aléatoires est un domaine très vivant et important de la recherche qui établit des ponts entre divers domaines de la physique théorique, des mathématiques et de la statistique et qui établit des liens très profonds avec plusieurs problèmes, par exemple avec la combinatoire, la probabilité combinatoire liée à la mécanique statistique, la théorie des nombres, les modèles de croissances et de pavages aléatoires et les questions de technologie de la communication.

La question majeure est d’examiner la densité moyenne du spectre pour des matrices aléatoires de grande taille (satisfaisant à certaines conditions de symétrie) et leurs fluctuations autour de cette distribution d’équilibre. Ces distributions de probabilités pour le spectre de matrices aléatoires sont décrites par des déterminants de Fredholm des noyaux. Ces noyaux limites dépendent de régimes différents (changement d’échelles) menant à des comportements statistiques différents près du bord du spectre, près d’un vide dans le spectre ou dans le « gros » du spectre. Des comportements statistiques intéressants et nouveaux sont apparus et sont liés à des équations non-linéaires (équations de Painlevé) et des équations aux dérivées partielles non-linéaires nouvelles ; de plus ces distributions revêtent toutes un caractère « universel » au sens que la limite ne dépend que des propriétés grossières de la matrice comme des conditions de symétrie. Certains de ces modèles matriciels aléatoires sont étroitement liés à l’énergie libre et l’équation de Yang-Baxter pour des modèles de mécanique statistique (Six-Vertex Models Impenetrable Bose gas,etc…)

Dyson a introduit de la dynamique dans les modèles de matrices aléatoires qui reflètent des paramètres physiques évoluant lentement ; le spectre se comporte alors comme des grands systèmes de mouvements browniens séparés les uns des autres par une force de Coulomb. Le comportement de ces diffusions de dimension infinie près du point critique (bord, vide, etc…) donnent lieu à des transitions de phase intéressantes que nous comptons étudier du point de vue de l’asymptotique, des probabilités de transition et des grandes déviations. La méthodologie consiste à formuler la question en termes du problème de Riemann-Hilbert, ce qui nous permet l’utilisation de méthodes du col qui ont été développées les dix dernières années. L’utilisation des équations intégrables (équations de Korteweg-deVries,…) et de l’algèbre de Virasoro (liées aux modèles matriciels sous-jacents) conduit à une méthode très efficace pour trouver les équations différentielles des probabilités de transition.

En relation avec les travaux mentionnés ci-dessus, les théories quantiques à géométrie non commutative ont retenu toute l’attention. Plusieurs approches simples ont été considérées basées sur les déformations de relation de commutation des opérateurs de position et du moment. Dans le contexte des systèmes quantiques de Wigner (WQS), cette approche est plus fondamentale. Celle-ci est basée essentiellement sur le fait que les équations d’Hamilton et les équations d’Heisenberg sont identiques comme équations d’opérateurs dans les espaces des états (espaces d’Hilbert), donnant lieu à certaines conditions de compatibilité. Cette approche conduit, par exemple pour l’oscillateur, à des relations avec les super-algèbres de Lie ; en effet les conditions de compatibilité (souvent des identités triples entre anti-commutateurs) ont une solution naturelle en termes de super-algèbres de Lie.

Les thèmes de recherche principaux sont les suivants :

1°) le spectre de matrices aléatoires, comportement critique et transition de phase

2°) théorie du transport et des fluctuations

3°) système dynamique quantique, entropie dynamique et méthodes semi-classiques

4°) mécanique statistique de systèmes complexes dissipatifs, théorie du transport et relaxation dans les systèmes dynamiques hamiltoniens

5°) intégrabilité et non-intégrabilité des systèmes hamiltoniens, symétries maîtresses, équations de KdV à dispersion nulle et extension de la distribution de Tracy-Widom.

Ce sont des domaines de recherche très vierges, ayant acquis visibilité et reconnaissance internationales.

Trois grands projets européens visent cette problématique, un projet de l’Union européenne (ENIGMA – UCL/KUL) et deux projets de la « European Science Foundation » (MISGAM – UCL/KUL et STOCHDYN – ULB). L’objectif de ce projet est de constituer un réseau profitant de la grande expertise dans ce domaine en Belgique en vue de créer une force permettant de faire des progrès significatifs dans ces domaines d’avenir.

Cette équipe contient des chercheurs des départements de mathématique et physique de quatre universités : Jean Bricmont, Pierre Bieliavsky, Luc Haine, Philippe Ruelle, Pierre Van Moerbeke (UCLouvain), Pierre Gaspard (Université Libre de Bruxelles), Mark Fannes, Arnoldus Kuijlaars, Christian Maes et Walter Van Assche (KULeuven) et Joris Van der Jeugt (Universiteit Gent). Ces équipes fournissent des talents complémentaires dans un environnement inter-disciplinaire mais ayant néanmoins des objectifs communs.

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